Fondamenti della meccanica atomica
Consideriamo la successione delle infinite autofunzioni normalizzate e ortogonali tra loro, y1, y2..., corrispondenti agli autovalori dell'equazione
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la somma di tutte quelle corrispondenti ad un intervallo infinitesimo (λ 0, λ 0 + Δλossia l'integrale
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più di una l'autovalore si dice multiplo): due autofunzioni , corrispondenti a due diversi autovalori , godono la proprietà di ortogonalità:
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corrispondenti a quelli di onde di lunghezza : quindi al di là della fenditura il fascio non sarà più parallelo, ma avrà (nella direzione y
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La sarà in generale, come si è detto al § 29, della forma (133') (somma o integrale di infinite soluzioni semplici corrispondenti ai diversi valori
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Diamo qui, per comodità del lettore, le espressioni esplicite delle funzioni sferiche corrispondenti ai primi 4 valori di l, che più spesso
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(« quanto totale»), oltre che con l'indice l che già figura nella (250), cosicchè scriveremo e per le autofunzioni corrispondenti . Per quanto concerne
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indipendenti per la u, corrispondenti ai valori che può assumere m (da a ).
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I polinomi generalizzati corrispondenti ad un dato indice superiore j ed a diversi K, se moltiplicati per danno luogo a funzioni ortogonali
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Le espressioni esplicite corrispondenti ai primi valori di n ed lsono, posto le seguenti:
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Osserviamo che due autofunzioni corrispondenti a valori di m uguali e di segno contrario differiscono solo per il segno dell'esponente e quindi sono
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determiniate dalle quantità definite dalle (144), cioè ottenute con integrazioni operate sul prodotto delle autofunzioni corrispondenti ai due stati in
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In particolare, se le coordinate q sono le ordinarie coordinate cartesiane x, y, z di un punto, i corrispondenti momenti sono le componenti
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che questo è un grado di libertà di «rotazione», mentre quelli corrispondenti a coordinate che oscillano periodicamente entro due limiti si chiamano
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, osserviamo che i valori massimo e minimo di r, cioè la distanza afelica e quella perielica (corrispondenti a = 180°, ), sono
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e) Livelli energetici. – Anzitutto osserviamo che tutte le ellissi corrispondenti allo stesso n avendo lo stesso hanno la stessa energia: questa
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valori dell'energia corrispondenti alle orbite dello stesso quanto totale n: allora ogni livello energetico si scinderà in un gruppo di livelli
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quattro autofunzioni: ciò corrisponde al fatto, già rilevato sopra, che le orbite corrispondenti ai primi valori di n non hanno nessun significato fisico.
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Graficamente, si usa rappresentare i livelli corrispondenti ai termini su diverse colonne, una per la serie s, una per la p, ecc., come si vede nella
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È invalso nella spettroscopia l'uso di indicare i termini spettrali, corrispondenti ai livelli energetici di un elettrone, anzichè con la notazione
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frequenza risultano dell'ordine di e quindi devono essere nello spettro dell'elio ionizzato (Z = 2) 16 volte maggiori che nelle corrispondenti righe
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Per distinguere tra loro i due stati dell'atomo, corrispondenti alle due orientazioni dello spin, basta aggiungere alla indicazione dei tre numeri
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questa funzione sono eguali alle frequenze corrispondenti ai singoli gradi di libertà:
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rispetto agli , per il che questi necessariamente debbono essere grandi) le frequenze vi si avvicinano molto alle frequenze corrispondenti allo stato
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elementi corrispondenti delle due matrici e : cioè
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Naturalmente il prodotto di due matrici non è commutativo, eccettuato il caso che i due operatori corrispondenti siano permutabili, nel qual caso
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operatore basta fare prodotto delle corrispondenti matrici con la regola ordinaria, cioè «righe per colonne»: difatti applicando questa regola e tenendo
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(65) si riduce a un sistema di tre equazioni lineari ed omogenee nelle tre incognite (si potrebbero scrivere tre di tali sistemi, corrispondenti a k
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Cominciamo con l'osservare che se è una qualsiasi successione di grandezze corrispondenti ai valori interi dell'indice n, quando questo indice
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Evidentemente, se la f è funzione univalente come supporremo, e se le Gr sono discrete, le loro probabilità sono uguali a quelle delle corrispondenti
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corrispondenti a una particella di dati y e z (caso unidimensionale, v. § 36, p. II) e quindi, per il principio di sovrapposizione, è la probabilità che la
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Ora, avendo già riconosciuto che gli operatori corrispondenti alle coordinate sono le stesse, e quelli corrispondenti ai momenti sono , possiamo
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(dove G' è un parametro): gli autovalori di questa equazione danno i possibili risultati di una misura dell'osservabile G, e, dette le corrispondenti
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o alle corrispondenti matrici.
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corrispondenti osservabili
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x, y, z rispettivamente, e ricerchiamo anzitutto gli operatori ad esse corrispondenti.
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interpretare come una relazione tra le matrici corrispondenti alle osservabili G, q, p:
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risulti diagonale. Traducendo queste uguaglianze tra matrici in uguaglianze tra gli elementi corrispondenti, e indicando con En gli elementi
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anzitutto che e , per il significato dato loro più sopra, non sono altro che le autofunzioni dell'operatore , corrispondenti rispettivamente agli
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Sostituendo con gli operatori corrispondenti , questa espressione si trasforma nell'operatore
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cioè : di qui i due valori di , corrispondenti ai due valori 1,2 dell'indice s,
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Nei casi ordinari (corrispondenti cioè nel modello classico a particelle dotate di velocità piccole rispetto a c, sì da potersi usare la meccanica
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un'espressione simmetrica rispetto ai due gruppi di variabili, cioè tale che scambiando le con le corrispondenti l'espressione risulti la stessa: altrimenti lo
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Ricerchiamo ora le autofunzioni di approssimazione zero corrispondenti a questi autovalori: esse sono date (v. § 39) da:
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mentre l'autofunzione di spin si riduce, in sostanza, a un gruppo di due costanti e (corrispondenti rispettivamente ai due valori ± l della variabile
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Per calcolare le , calcoliamo, mediante le (391), le autofunzioni di spin, corrispondenti alle quattro coppie di valori (393) per ed ; otteniamo:
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(Si noti che, nel caso , si ha a 0 e quindi mancano gli stati corrispondenti ad i = 1, 2, 3).
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dove sono gli operatori corrispondenti alle componenti dello spin del primo elettrone (formati a norma del § 45) e sono quelli del secondo
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corrisponde un diverso valore dell'energia: i due valori del quanto interno servono appunto a distinguere tra loro i due livelli energetici corrispondenti
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significa che tutte le altre soluzioni corrispondenti a quell'autovalore si ottengono da questa moltiplicandola per una costante: se perciò si aggiunge
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Accademia della crusca
